Application physique des endomorphismes orthogonaux de l’ensemble des vecteurs et des matrices

 

Par

Lusambu Nyime

Résumé

L’orthogonalité des endomorphismes porte un secours non négligeable dans le traitement des problèmes en algèbre vectorielle.

Partant des préludes de morphismes dans le plan vectoriel, nous élargissons le champ dans lequel les opérations utilisées comme lois de compositions peuvent conférer certaines qualités aux structures des ensembles considérées. La définition des termes « ensemble » et « application » nous conduira sans équivoque, à travers les morphismes, à l’application de l’orthogonalité des endomorphismes dans un champ électrique et en équilibre statique d’un solide soumis à des actions mécaniques extérieures.

Introduction

Dans cette partie de notre article, nous allons parler des généralités sur les termes de références qui seront appliqués dans les endomorphismes orthogonaux pour éclairer nos lecteurs sur le contenu qui fait l’objet de notre sujet.

1. Généralités  

1.1. Définition d’un ensemble

On appelle « ensemble » une collection d’objets satisfaisant en particulier aux conditions suivantes :

-          Tous les objets qu’elle contient sont parfaitement bien définis ;

-          L’appartenance d’un objet à la collection de même que la non-appartenance, est définie sans ambiguïté.

1.2. Définition d’une application

Soit A et B deux ensembles et f une relation de A vers B, la relation de l’ensemble de départ A vers l’ensemble d’arrivée B est une application si et seulement si tout élément de l’ensemble A a une image et une seule dans l’ensemble B ou encore une application est une relation par laquelle chaque élément de l’ensemble de départ a une image dans l’ensemble d’arrivé.

 

1.3. Application linéaire

 

Soit E et R (l’ensemble des réels) deux espaces vectoriels, et f une application de E dans E. f est dite une application linéaire si f possède les deux propriétés suivantes :

1)

2)

 

1.4. Structure et morphisme

 

Définition 

Une structure consiste en un ou plusieurs ensembles munis d’une ou de plusieurs lois de composition internes ou externes vérifiant les propriétés imposées. C’est alors que les lois en question confèrent à l’ensemble la structure considérée.

Une structure n’est pas seulement un ensemble. On peut rencontrer des structures qui présentent des analogies. Ce cas arrive en particulier lorsqu’il existe une application de l’un des ensembles de base vers l’autre qui conserve les structures. Le cas de l’espace des translations du plan affine qui à chaque translation composée de deux premières est associé le vecteur somme. La correspondance ainsi définie transforme la composition de deux applications en somme de deux vecteurs. De telles correspondances sont appelées de façon extrêmement générale des morphismes.

1.4.1. Isométrie du plan vectoriel euclidien

Orthogonalité de deux vecteurs :

Définition :

Soit  et  deux vecteurs d’un espace vectoriel euclidien  On dit que  est orthogonal à  ou que  est perpendiculaire a v et on écrit    si et seulement si le produit scalaire  est nul et on note

Le produit scalaire étant une application symétrique sur une espace vectoriel ce qui nous permet d’écrire :

De ce fait, nous avons :  Si  est orthogonal à  alors  Ce qui amène à dire que deux vecteurs  d’un espace vectoriel euclidien  sont orthogonaux si et seulement si

Le vecteur  étant orthogonal à tout vecteur de , C’est-à-dire  La définition de l’orthogonalité entraine l’indépendance linéaire de deux vecteurs non nuls orthogonaux, d’un espace vectoriel euclidien. Au cas où ils sont unitaires, les 2 vecteurs forment une base orthonormée de

1.4.2. Orthogonalité d’une base d’un plan vectoriel

Soit  deux vecteurs du plan vectoriel euclidien  Si les deux vecteurs  et  sont unitaires et orthogonaux, alors  est une base orthonormée de

Définition

Une base  du plan vectoriel  est orthonormée si et seulement si les vecteurs  qui la composent sont unitaires et orthogonaux.

 

En effet, dire que  est une base orthonormée revient à dire que le couple  est une base. Les vecteurs  sont unitaires et orthogonaux c’est-à-dire que

 

Proposition :

 

Si deux vecteurs du plan vectoriel euclidien  sont unitaires et orthogonaux, alors les deux vecteurs forment une base orthonormée de  

 

Preuve :

 

Puisque  sont orthogonaux :  dont  sont linéairement indépendants. Le plan vectoriel euclidien étant de dimension 2, les deux vecteurs  linéairement indépendants et unitaires forment alors une base  orthogonaux de .

Il est à noter ici que le plan vectoriel euclidien  étant rapporté à une base orthonormée  et deux vecteurs  de  ayant pour coordonnées respectives  et  dans la base B, on a pour le produit scalaire et la norme.  

 

1.4.3. Orthogonalité d’une base d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3.

 

Définition

 

Une base  de l’espace vectoriel euclidien  de dimension 3 est orthonormée si et seulement si les vecteurs  qui la composent sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

 

Une famille  des vecteurs de l’espace vectoriel euclidien  de dimension trois est dite une base orthonormée de  lorsque :

v     est une base de ;

v     sachant que

v     c’est-à-dire

 

Avec l’existence de base orthonormée du plan et soit  un vecteur de  tel que  soit une base de  le vecteur  de  de coordonnées  dans la base  est orthogonal à la fois à  et à  si et seulement si :  c’est-à-dire si et seulement si :  Donc le vecteur  de coordonnées  dans la base  est un vecteur de , orthogonal à la fois aux deux vecteurs  et tel que  est une base de , car  n’appartient pas à  Le vecteur  étant un vecteur unitaire colinéaire à  ce qui fait que le triplet  est une base orthonormée de .

 

De plus, soit  trois vecteurs de l’espace vectoriel euclidien  unitaires et orthogonaux deux à deux, si  trois nombres réels tels que :

Puisque :

 

On a :  et la famille  est libre. L’espace vectoriel euclidien  étant rapporté à une base orthonormée , soit  les vecteurs de  de coordonnées respectives  et  dans la base  L’expression du produit scalaire  est :  en effet :

 

Comme  d’après la définition de l’orthogonalité et    et l’expression de la norme du vecteur  est donc :

 

2. Endomorphisme orthogonal

 

2.1. Définition

 

Un endomorphisme  du plan vectoriel euclidien  est une endomorphine orthogonale si et seulement si  conserve le produit scalaire. Ce qui veut dire :  L’endomorphisme orthogonal de  est aussi appelé une isométrie vectorielle de

 

Exemples

 

Soit  un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée  l’endomorphisme de  dont la matrice dans la base B est :

 

Montrons que  est un endomorphisme orthogonal de  étant deux vecteurs de  des coordonnées  dans la base B, on a :

Par définition, les vecteurs  ont pour coordonnées respectives dans la base B :  et donc :

 

 

 

 

Soit  C’est-à-dire  et  est un endomorphisme orthogonal de

 

2.2. Une autre caractérisation des endomorphismes orthogonaux

 

Est la suivante : Un endomorphisme  du plan vectoriel euclidien  est orthogonal si et seulement si  conserve la norme. C’est-à-dire :

 

Preuve

 

Si l’endomorphisme  est orthogonal, on a pour tout vecteur  réciproquement, si l’endomorphisme  est tel que :

 De plus , il en résulte que l’on a :  

 Donc  est un endomorphisme orthogonal de

 

2.3. Groupe orthogonal du plan vectoriel euclidien

 

L’ensemble des isométries vectorielles du plan euclidien  est noté

 

 

Définition

 

L’ensemble  des isométries du plan vectoriel euclidien , muni de la loi de composition des applications est un groupe appelé groupe orthogonal du plan vectoriel euclidien

 

En effet, soit  et  deux éléments quelconques de .  étant un vecteur quelconque de  on a puisque  est un endomorphisme orthogonal de :  et puisque  est un endomorphisme orthogonal de :  comme  on a donc  Ce qui prouve que  est un endomorphisme orthogonal de  et donc que la composition des applications est une loi interne dans

 

La composition des applications étant associative comme propriété générale, la composition des endomorphismes orthogonaux est ainsi une loi associative.

 

L’application identique J de  est un élément de  elle est l’élément neutre de  pour la composition des applications.

 

De plus, soit  une isométrie vectorielle de  l’application réciproque de  est une application linéaire de

Soit  un vecteur quelconque de  et  on a donc :  et puisque  est une isométrie vectorielle de :

 Est donc une isométrie c’est-à-dire un élément de  Il découle de ce qui précède que  est un groupe pour la loi de composition des applications.

 

2.4. Matrice d’une isometrie du plan vectoriel euclidien

               

Soit  un endomorphisme orthogonal du plan vectoriel euclidien  de matrice

 dans la base B,  B étant une base orthonormée de  notée .

 

               

Les vecteurs  et  ont pour coordonnées respectives  et  dans la base B.

 

Puisque l’endomorphisme  concerne la norme et le produit scalaire, et que la base B est orthonormée, on a les relations suivantes :

            (1)

 

            (2)

 

        (3)

 

L’égalité (1) montre que les coefficients a et b ne sont pas tous nuls : supposons par exemple a  Il existe alors  tel que : d =  ce qui, d’après la relation (3) implique : a(c+  soit, puisque a : c+  c’est-à-dire c = -  il en résulte alors d’après la relation (2) :

Soit en utilisant (1) :

 

=1 car a² + b² = 1

 

= 1 c’est-à-dire

 

Par conséquent la matrice de l’endomorphisme orthogonal   est de la forme :

Ou

Où a et b sont deux nombres réels tels que a² + b² = 1

 

               

Une matrice A vérifiant les conditions (1), (2) et (3) exposé ci-haut est appelée matrice orthogonale et le déterminant de la matrice A d’un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormée est :

 

det 

 

ou bien

 

det 

 

d’où l’énoncé :

               

Le déterminant de la matrice d’un endomorphisme orthogonal du plan vectoriel euclidien  est égal à 1 ou à -1.

 

Les isométries de déterminant 1 s’appellent isométries positives et celles de déterminant -1 isométries négatives.

 

Notons que tout endomorphisme du plan vectoriel euclidien  dont la matrice dans une base orthonormée de  a un déterminant égal à 1 ou à -1 n’est pas nécessairement une isométrie de . C’est le cas dans l’exemple ci-après :

               

Considérons l’endomorphisme  du plan vectoriel euclidien  dont la matrice dans la base orthonormée  de  est :

 

Le vecteur  ( ) a pour coordonnées  dans la base ( ), et l’on a :

 

² = 2²+1²= 5 et donc :

Ce qui prouve que  n’est pas une isométrie de . Cependant, on a :

det A= = 4-3 = 1

 

2.5. Rotation vectorielle du plan vectoriel euclidien

 

2.5.1. Définition

               

On appelle rotation vectorielle du plan vectoriel euclidien  tout endomorphisme orthogonal de , dont la matrice dans une base orthonormée ( ) de  est de la forme :

 

A=  avec a² +b²=1

 

A²+b² étant le déterminant de la matrice A dans la base ( ), les rotations vectorielles ne sont autres que les isométries positives de .

 

2.5.2. Propriétés des rotations vectorielles

               

L’application composée de deux rotations vectorielles du plan vectoriel euclidien est une rotation vectorielle de  .

               

En effet, le plan vectoriel euclidien  étant rapporté à une base orthonormée B = ( ), soit  et  deux rotations vectorielles de de matrices respectives A et B dans la base B.

 

L’application composée  est un endomorphisme de   qui a pour matrice le produit BA, et on a : det BA= det B det A.

 

Soit puisque det B= det A=1 rotation qui montre que  une rotation vectorielle.

 

-L’application réciproque d’une rotation vectorielle est une rotation vectorielle.

 

Démonstration :

Le plan vectoriel  étant rapporté à une base orthonormée ( ), soit

 

A=  la matrice dans la base ( ), de la rotation vectorielle  de .

   étant un endomorphisme orthogonal, elle est bijective et admet une application réciproque ^-1 qui est aussi un endomorphisme orthogonal et dont la matrice de la base ( ), est A^-1=  avec, puisque   est une rotation vectorielle de : a²+b²=1

 

2.5.3. Groupe des rotations vectorielles

               

Désignons par ⁺ (  l’ensemble des rotations vectorielles du plan vectoriel euclidien.

 

L’application composée de deux rotations vectorielles étant une rotation vectorielle, la composition des applications est une loi interne dans ⁺ ( .

L’association de la composition étant une propriété générale pour la composition, cette loi est associative dans ⁺ ( .

Commutativité : le plan  étant rapporté à la base orthonormée ( ) ; soit  et  deux rotations vectorielles de .

 

Soit A = et B =  les matrices respectives de la rotation vectorielle  et  dans la base ( ). La matrice de la rotation vectorielle  dans la base ( ) est :

 

BA=  De même, la matrice dans la base ( ) la matrice de la rotation vectorielle  est :

 

AB   qui traduit le produit de deux matrices.

 

En comparant les rotations vectorielles  et , il est évident et immédiat de constater que l’on a : BA = AB

 

D’où la commutativité.

 

·      L’application identique  appartient à ⁺ cette application identique de  et  est l’élément neutre de ⁺    pour la composition des applications.

 

·      De plus toute rotation vectorielle de  est bijective et son application réciproque est une rotation vectorielle. Ceci implique que tout élément de ⁺  admet un inverse pour la composition des applications.

 

De tout ce qui précède, il découle que l’ensemble ⁺  des rotations vectorielles du plan vectoriel euclidien , muni de la composition des applications, est un groupe commutatif.

 

3. Applications

 

3.1. Orthogonalite d’un champ electrique

 

Dans le domaine de la physique, l’orthogonalise s’applique sur le champ électrique.

 

Lorsqu’une charge   se déplace d’un point x₁ à un point x₂ dans un champ électrique, le travail requis pour déplacer cette charge est appelé « différence de potentiel, ddp (V₂₁). Cette différence de potentielle est une grandeur scalaire d’un champ uniforme.

 

Soit :   V₂₁

 

                                       

 

                                      ₌V₁- V₂ 

 

                        

 

                        

 

A l’infini r_{2 21} =

 

Avec V : Différence de potentiel

 

E : Champ électrique (V/c)

Q : Charge (c)

R : Espace (distance) (m)

 

: Coefficient de perméabilité.

 

De cette relation, nous considérons que les champs sont des grandeurs scalaires et vectorielles. Selon la théorie des champs, on démontre qu’à chaque champ électrique conservatif est associé non seulement la grandeur vectorielle :

  mais aussi une grandeur scalaire V₂₁ qui signifie la différence de potentiel V₂-V₁ donc appelée potentiel électrique scalaire.

 

Pour un champ uniforme, le chemin parcouru par la charge est parallèle à l’intensité de champ électrique , si entre le chemin parcouru par la charge   et le champ électrique E, il existe un angle , le travail effectué est proportionnel à la charge, au champ et à la distance parcourue par la charge :

 

W =

 

Par unité de charge on a :

Pour 90°

                                    

 

Avec W : Travail (T)

Q : Charge ©

E : Champ électrique (V/c)

 : Angle (en degré ou Rn radian)

L : Longueur(m)

 

Le chemin parcouru est une ligne équipotentielle. Ce cas constitue une propriété importante des champs que les lignes équipotentielles sont orthogonales.

 

Le champ électrique créé aux différents points du corps est une fonction vectorielle du point tandis que les charges électriques créent un champ vectoriel de force électrique F. si ces charges varient en fonction du temps, il en est même des champs scalaires et vectoriels qui sont fonction du temps et des coordonnées du point considéré

 

L’orthogonalité peut être, observée dans le cas de l’onde électromagnétique en adoptant le système des coordonnées et en supposant que l’onde se propage dans la direction de l’axe des X, le champ électrique E n’a qu’une composante Ey dans la direction des y et le champ magnétique H n’a qu’une composante Hz dans des Z cela pour polariser l’onde verticalement.

 

Direction de propagation de l’onde

x

Y

E

EY

H

H

HZ

E

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Selon Maxwell,

 

 

Si

  

  

 

3.2.      Equilibre statique d’un solide soumis à des actions mecaniques exterieures.

 

Parmi les outils mathématiques utilisés en mécanique, nous avons les torseurs dont l’usage dans l’étude des systèmes mécaniques complexes est très commode facilitant ainsi l’écriture des équations vectorielles.

 

Un torseur en un point A de l’espace est représenté par ses éléments de réduction en ce point, constitués de deux champs de vecteurs dont le premier champ de vecteurs fait correspondre à tout point A de l’espace un vecteur  appelé résultante du torseur [T] et indépendant du point A et le second champ de vecteurs fait correspondre à tout point A de l’espace un vecteurs M_A qui dépend du point A et appelé moment du torseur[T].

 

Dans les cas de l’équilibre statique d’un solide soumis à des actions mécaniques extérieurs l’équilibre se réalise si et seulement si le torseur représentant l’ensemble de ces actions est un torseur nul. Ce qui revient à dire que :

 

 

C’est-à-dire :

 

Comme le moment d’un système des forces concourantes en un point A de l’espace par rapport à un point O est égal au moment de la résultante des forces par rapport au point O, nous avons :

Ce qui implique que :

( ) =
  

                                       (    

                                         

Avec 

Pour l’équilibre statique :

  

 

D’où l’orthogonalité des éléments de réduction du torseur  et   pour le point de l’espace considéré.

De ce qui précède, nous considérons l’ensemble des vecteurs au sein duquel s’appliquent les opérations. Les charges électriques se déplacent et forment un champ électrique. Lorsqu’une charge électrique en déplacement croise un champ magnétique, il se forme un angle de croisement.  Le croisement orthogonal, c’est-a-dire en angle droit annule le travail effectué.

Comme l’opération se fait dans l’ensemble des vecteurs, il s’ensuit que cette application qui va de l’ensemble des vecteurs dans l’ensemble des vecteurs s’appelle endomorphisme. A chaque fois que le travail effectué s’annule, il s’agit donc d’un endomorphisme orthogonal.

 

Conclusion

 

Pour ressortir l’orthogonalité des endomorphismes dans le cas précis des vecteurs et matrices, il nous a été indispensable d’expliquer ce que sont les morphismes et également (définir) les espaces vectoriels et euclidien. La norme d’un vecteur ressortie du produit scalaire passera à l’appui à l’orthogonalité des endomorphismes.

 

De l’étude de l’orthogonalité dans les structures il ressort que les endomorphismes orthogonaux existent là où s’opèrent les vecteurs et lorsque le produit de deux vecteurs est nul.

La forme spécifique :  d’une matrice du plan vectoriel euclidien détermine un endomorphisme orthogonal qui n’est autre qu’une isométrie positive du plan vectoriel.

Les applications en physique où le champ électrique créé aux différents points d’un corps est une fonction vectorielle du point et les charges créent un champ vectoriel, font observer l’orthogonalité et aussi lorsque les lignes de champ électrique sont perpendiculaires à la surface du conducteur.

 

L’équilibre statique d’un solide soumis à des actions mécaniques extérieures ne se réalise que si et seulement si le torseur représentant l’ensemble de ces actions est un torseur nul. Ceci exprime l’orthogonalité des éléments de réduction    et  pour le point de l’espace considéré. A chaque fois que le travail effectué s’annule, il s’agit là d’un endomorphisme orthogonal. 

 

Bibliographie

 

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