Par
Jean-Paul
Mukangi Umba et Kumbana Malundu
Résumé
Les cours de mathématique sont
généralement considérés aussi bien par les élèves que dans l’opinion comme
difficiles. Cette considération rend effectivement difficile ces cours parce
que les apprenants ayant intériorisé cette considération ne font plus d’efforts
pour comprendre ce qui est enseigné. Pourtant, la mathématique ne suit qu’une
logique à partir des notions simples d’addition, de soustratction, de division
et de multiplication vues à l’école primaire. Pour aider les élèves à ne pas
considérer la mathématique comme une discipline difficile, les auteurs ont
résolu de mettre à la disposition des enseignants de mathématique querlques
exercices résolus avec des explications claires de la procédure à suivre. Une
façon de les aider à aider les élèves à, non seulement résoudre les équations
mathématiques mais également à aimer cette discipline pour qu’elle devienne
facile.
Introduction
A travers notre carrière enseignante
nous avons fait un constat amer quant à ce qui concerne le cours de
Mathématique au niveau du cycle terminal du secondaire général : 5ème
et 6ème Pédagogique, littéraire et autres. Les élèves ont difficile
à résoudre des exercices qui leur sont proposés pour dire tout
simplement : « C’est très difficile ».
Retenons pourtant que la
Mathématique est une discipline qui suit une ligne logique à partir des
simples notions élémentaires d’addition, de soustraction, de multiplication et
de division vues à l’école primaire jusqu’aux principes et définitions complexes
au niveau supérieur (Secondaire et Universitaire). Le manque d’enchainement
d’idées de toutes ces notions ne peut qu’engendrer des difficultés de
compréhension et par conséquent, entraine d’échecs pour croire à tort que la mathématique
est difficile.
Nous avons ainsi choisi le type
d’exercices sur deux chapitres du programme de Mathématique en 6ème
année des humanités pédagogiques et littéraires basés sur le domaine de
définition basés sur le domaine de définition et équation des asymptotes d’une fonction. Très souvent
les apprenants éprouvent des difficultés énormes à trouver une réponse correcte
lorsque la question posée fait appel à la combinaison des notions étudiées sur
les deux chapitres cités ci-haut. Notre souci est de mettre un support à la disposition
des élèves et leurs encadreurs pouvant les aider de modèle à suivre à la
résolution des quelques exercices.
Il s’agit de quelques exercices résolus
suivant un raisonnement logique conformément au programme du cours dispensé
dans les classes d’options citées ci-haut.
1. Exercices modèles
A) Soit
la fonction f(x) définie par :
dans R pour toute
valeur de x si et seulement si : (m étant un paramètre).
1)
2) – 2 < m <
2 3)
4)
5)
Ci-après
le raisonnement à suivre :
a) Pour
qu’une fonction rationnelle soit définie pour toute valeur de x dans
, il faut dans le cas d’un dénominateur du second degré
que son discriminant appelé : delta (D)
soit négatif c’est-à-dire n’admet pas de solutions ou racines.
b)
Comme ce dénominateur est mx2 + x – 2, en
l’annulant, on obtient
mx2
+ x – 2 = 0. Calculons delta (D).
D =
b2 – 4ac. (a = m, b = 1 et c = - 2).
D’où
D =
12 – 4.m. (-2) = 1 + 8 m.
Selon
le point a), 1 + 8m doit être négatif c’est-à-dire 1 + 8m < 0. Cette
inéquation a pour solution :
1 +
8 m < 0.
8m <
- 1
Cette
solution constitue la réponse à la question posée. Cette réponse est marquée au
numéro 4.
Bref,
on a fait appel aux notions suivantes :
-
Résolution d’une équation du second degré
-
Résolution d’une inéquation du 1er degré
-
Domaine de définition d’une fonction.
B) La
courbe représentative de la fonction
admet deux
asymptotes verticales d’équations : x = -3 et x = 1 si le couple (m, n)
est égal à :
1) (3, - 1) ; 2) (3, 1);
3) (1, 3); 4) (- 3, 3); 5) (1, -3).
Ci-après
le raisonnement modèle à suivre :
Les
asymptotes verticales sont obtenues à partir du dénominateur de la fonction
donnée c’est-à-dire de mx2 + 2x + m = 0.
Donc
les asymptotes x = - 3 et x = 1 sont les solutions de cette équation. Alors mx2 + 2x + m = (x +3) (x – 1). On a alors mx2 +
2x + m =x2 + 2x - 3.
Cette
réponse est située au numéro 5. C’est-à-dire (m, n) = (1, -3).
Bref,
on a fait appel :
-
à la définition d’une asymptote verticale.
-
à la résolution d’une équation du second degré
-
à la définition domaine de définition.
C)
Soit la fonction
(k = paramètre).
Cette fonction est définie dans
l’intervalle : ] -¥, 4
[u] 4, + -¥ [. La valeur du
paramètre k est :
Ci-après
le raisonnement simple et logique à suivre :
mx2 + x – 2 = 0.
·
Dans le domaine de définition donnée ci-haut, le chiffre
4 est exclu du domaine. Cela veut dire que x = 4 constitue une équation
asymptote verticale c’est-à-dire x = 4 équation d’asymptote verticale.
·
Dans ce dénominateur 6 + 2kx = 0, si x = 4 on
obtient :
6 +
2k.4 = 6 + 8k=0. D’où : 8k = - 6. Cette solution
constitue la
réponse à la question posée.
Bref,
les notions de référence sont :
-
la définition
d’une asymptote verticale.
-
la résolution
d’une équation du 1er degré à
une inconnue.
D) Soit
la fonction
quelles sont les
valeurs que peuvent prendre a et
b de
cette fonction pour qu’elle admette deux asymptotes verticales et une asymptote
horizontale y = 1. (a et b :
paramètres).
1) a = 2 et b = 2 2) a < 1 et b = 1 3) a = 0 et b = 1
4) a <
et b = 0 5) a = 1 et b =
Raisonnement
logique et simple à suivre :
1°
Parce que l’Asymptote horizontale y = 1. Cela signifie que les coefficients de
x2 du numérateur et du dénominateur sont égaux. Autrement dit b = 1. Par définition de
l’Asymptote horizontale.
2°
Comme la fonction admet 2 Asymptotes verticale. Cela signifie que le
dénominateur s’annuel pour 2 valeurs de x. Cela revient à dire que le
discriminant D du dénominateur est positif par définition.
Donc :
x2 + 2x + a = 0.
D = 4 - 4a doit être positif.
4 - 4a > 0
- 4a > - 4
4a > 4 Þ
c’est-à-dire a < 1
Au
point (1°) b = 1 et au point (2°) a < 1.
N.B. :
1)
La réponse 2 répond à la question posée.
2)
On a fait appel : la définition d’une asymptote horizontale et l’asymptote
verticale et à la résolution d’une équation du second degré.
E)
Soit
et D son domaine
de définition. Déterminer les réels a, b et c tel que f (x) = ax + b +
pour tout x du
domaine de définition
Raisonnement
à suivre :
(1) Mettre
tous les termes de la fonction ax + b +
au même
dénominateur commun.
(2) Egaler
les résultats à la fonction de départ
.
(3) Comparer
et égaler ainsi les coefficients de x2, de x et termes indépendants
membre à membre.
D’où :
(1)
Réponse :
a = 1 ; b = - 1 et c = - 3
F)
Soit la fonction
(a et b =
paramètres) définie dans l’intervalle] -¥,
-3 [u] -3, 2 [u] 2, +¥ [.
La
valeur de l’expression a2 + 2ab + b2 égale :
1) 4 2) 49 3) 57 4) 25 5) 94
Raisonnement
à suivre :
-
Parce que
les valeurs de x = -3 et x = 2 sont exclues du domaine de définition, alors
dont des asymptotes verticales : AV x = -3 et AV x = 2.
-
Cela
signifie que pour x = -3 et x = 2 le dominateur est nul
(zéro).
o
D’où :
(1) pour x = -3, le dénominateur devient :
ou 9 – 3a + b = 0.
(1) Pour
x = 2, le dénominateur devient :
(2)2 + a(2) + b ou 4 + 2a + b = 0
2a
+ b = - 4 (2)
On
obtient un système d’équation à 2 inconnues a et b.
Exemple : Méthode de Cramer
·
Ainsi
a = 1 et b = - 6
D’où
a2 + 2ab + b2 = (1)2 + 2 (1)(-6) + (-6)2
= 1
– 12 + 36 = 37 – 12 = 25
N.B. (1) La réponse 4 est la
solution au problème posé.
(2)
On a fait appel à :
- la définition du l’asymptote verticale
- la résolution du système d’équations à 2
inconnues.
G)
On donne la fonction
(a et b =
paramètres). Si f(x) n’est pas définie au point x = 1 et que f(2) = 3 alors le
couple (a, b) égale à :
1)
Raisonnement
à suivre :
·
Si pour x = 1, f(x) n’est
pas définie alors x = 1 est une asymptote verticale par définition. Autrement dit, en x = 1. 2x2
+ bx + a = 0 ou
2(1)2 + b + a = 0.
b + a = - 2 (1)
·
f(2) = 3 c’est-à-dire :
Þ 2a – 6b – 3a = 24
-
a – 5b = 20 (2)
Méthode d’Addition
Le couple est donc
N.B. : (1) La
réponse est donc au n°3.
(2) On a fait appel à :
-
la définition d’une asymptote verticale
-
la résolution d’un système d’équations du 1er
degré à 2 inconnues.
On
donne la fonction
sachant que f(x) peut se mettre sous la forme
(a, b, c, Î R)
alors a2 + b2 + c égale à :
1) 51 2) 198
3) 38 4) 218 5) 78.
Raisonnement
à suivre :
-
Mettre la fonction
au même
dénominateur.
-
Egaler la fonction (résultat) obtenue à la fonction de
départ.
-
Comparer et égaler les coefficients de x2, x
et termes indépendants de 2 membres et trouver ainsi la valeur de a, b et c et
enfin remplacer a, b et c par leurs valeurs respectives trouvées ci-haut, puis
calculer a2 + b2 + c2.
D’où,
(1)
(2)
Þ
3) a2 + b2 + c2 =
(-2)2 + (5)2 + (13)2 = 4 + 25 + 169 = 198.
N.B. :
(1)
Le n°2 est la bonne réponse.
(2)
On a fait appel à :
-
la transformation d’une fonction.
-
aux simples calculs d’addition, soustraction, multiplication, division,
factorisation …
H)
Soit la fonction
, la fonction inverse
(a, b, c, d
R) alors
égale à 1) 7
2) - 6 3) - 4
Raisonnement
à suivre :
(1)
déterminer la fonction inverse
(2)
égaler la fonction obtenue à la fonction
(3)
comparer et égaler les coefficients de x et les termes indépendants identiques
et enfin remplacer a, b, c, d par leurs valeurs respectives puis calculer
.
D’où :
(1)
yx + 2y = x – 3
yx – x = - 2y – 3
(y - 1) = - 2y – 3
Þ
2)
3) a = -2 b = - 3 c = 1
d = - 1
D’où
N.B. :
(1)
La réponse est au n°2.
(2)
On a fait appel à toutes les notions élémentaires de calcul vues
précédemment dans toutes les années précédentes.
Conclusion
Pour
résoudre n’importe quel exercice de ce genre, il faut en tout premier
lieu :
-
faire appel aux notions relatives à la question étudiées
précédemment.
-
faire appel aux principes et définitions antérieures
pouvant permettre la résolution de l’exercice de manière logique et exacte.
-
La réponse finale est une conséquence logique obtenue
grâce à une succession des matières relatives au chapitre contenant la question
posée.
Bibliographie
Badetty
L. et al (2001). Maitriser les
mathématiques 5. Kinshasa : Editions Loyola.
EPSP
(2003). Cahiers d’items, Examens
d’Etat, Inédit.
Kayembe
et al (1996). Maitriser les mathématiques
3. Kinshasa : Editions Loyola.
Laurent,
R. (1963). Algèbre, 3ème
édition. Bruxelles : A De Boeck.
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